Uppgifter

Vind och strömmar har storlek och riktning, och vi använder därför vektorer för att beskriva dem, till exempel \(\vec{u}=u\vec{i} + v\vec{j}\). \(\vec{i}\) och \(\vec{j}\) är enhetsvektorer som pekar mot öst och norr (se figur nedan) medan \(u\) och \(v\) anger längden på vektoren eller styrkan på strömmen i den riktningen. Om vinden blåser mot norr med 10 m/s så är \(\vec{u}=10\vec{i}\); blåser den mot söder så är \(\vec{u}=-10\vec{i}\); och om den blåser mot nordöst så är \(\vec{u}=7.1\vec{i}+7.1\vec{j}\).

Isförhållandena förändrar sig hela tiden beroende på vind och strömmar – så kaptenen måste hela tiden följa med och se på e.g. satellitbilder så att vi inte blir “fångade” (Araon är visserligen en isbrytare, men det går långsamt och går åt mycket bränsle om man ska köra genom tjock is.)  av drivis. Havisen är reltivt tunn och påverkas mest av vinden – en tumregel är att isen förflyttar sig med ca 2% av vindhastigheten och ca 30 grader till vänster om vinden (till höger i Arktis).

 

Uppgift 1

Vinden blåser 20 m/s mot väst och iskanten är 5 km från land

a) Utryck vinden och isens rörelse i vektorformat!

b) Hur långt söderut förflyttar sig isen på en timme?

c) Hur fort måste Araon köra för att hinna förbi udden (se figur) innan isen “stänger passagen”? Klarar vi det?

Uppgift 2

Vinden utövar en stress \((\vec{\tau}=\tau_x\vec{i} + \tau_y\vec{j})\) på vattenytan och sätter upp en ström i vattnet. Stressens storlek kan vi räkna ut från vinden: \(\vec{\tau}=C_{D}\left|\vec{u}\right|\vec{u}\), där \(\vec{u}=u\vec{i}+v\vec{j}\) är vinden på 10 m höjd.

a) Om det blåser 10 m/s mot nord och \(C_D=1.6\times10^{-3}\), hur stor är stressen då? I vilken riktning verkar den?

b) Man vet att storleken på \(C_D\) ändras när det är is på vattnet, och några forskare har föreslagit att \(C_D=10^{-3}\times(1.5+2.233C_i-2.333C_i^2)\) där \(C_i\) är andelen av havytan som är täckt av is (iskoncentrationen). För vilken iskoncentration är \(C_D\) störst? minst? Hur stor var iskoncentrationen i uppgiften ovan?

Uppgift 3

Under sin expedition på FRAM (1893-1896) så observerade Nansen att isen drev till höger (i Arktis) om vinden och han bad sin vän Vilhelm Bjerknes att få en av sina studenter att studera problemet. Det blev svensken Vagn Walfrid Ekman som förklarade isens rörelse, som är en effekt av friktion och jordens rotation. Ekman satte upp en teori för hur strömmen som vinden sätter upp uppförer sig. Strömmen ändrar sig med djupet (\(z\)) och vi kan skriva \(\vec{u(z)}=u(z)\vec{i} + v(z)\vec{j}\). Storleken på \(u(z)\) och \(v(z)\) kan vi beräkna från följande formler (som inte är så krångliga som de ser ut!)

\(
u(z)=\frac{\sqrt{2}}{1000fd} e^{z/d}\left[\tau_x cos(z/d-\pi/4) -\tau_y sin(z/d-\pi/4)\right]
\)

 

\(
v(z)=\frac{\sqrt{2}}{1000fd} e^{z/d}\left[\tau_x sin(z/d-\pi/4) +\tau_y sin(z/d-\pi/4)\right]
\)

 

där \(z\) är höjd (så djupen är negativa), \(f=1.46\times10^{-4}sin(latitud)\) är Coriolis faktorn och \(d=\sqrt{\frac{2\nu}{\left|f\right|}}\) är tjockleken på lagret som känner av vindens inverkan. Vi kallar det ofta Ekman lagret. \(\nu=10^{-2}m^2/s\) är viskositeten* – vattnets “tjockhet” eller tröghet (sirap har t.ex. högre viskositet än vatten**). Teorien är vida känd bland oceanografer och kallas bara för “Ekman spiralen”.

* Den molekylära viskositeten till vatten är mycket lägre, \(\nu=10^{-6}m^2/s\), men i havet gör virvlar och turbulens att den effektiva viskositeten blir större.

** se e.g. https://no.wikipedia.org/wiki/Viskositet för en animerad illustration av effekten av viskositet

Uppgift 4

a) Vilket värde har Coriolis faktorn i Amundsen havet? I Bergen?

b) Hur tjockt är Ekman lagret? Ett isberg kan vara flera hundra meter tjockt – tror du det påverkas av strömmen som vinden sätter upp?

c) Om det blåser 15 m/s mot väster och det är isfritt, hur stor är då \(\tau_x\) och \(\tau_y\)? (Se uppgift 2)

d) Åt vilket håll (och med vilken hastighet) flyter vattnet i ytan (z=0)? På Ekmandjupet (z=-d)? På vilket djup går strömmen i motsatt riktning av vinden?

e) Försök plotta strömmen! Varför tror du vi pratar om Ekman spiral?

f) När vi skickar ner vår LADCP*** får vi strömprofiler med en upplösning på 8 m (dvs vi får ett värde för strömmen var åttonde meter). Tror du vi klarar observera Ekman spiralen? Varför/varför inte?

g) När det blåser mot väster i Bergen, åt vilket håll går strömmen i ytan då?

*** Ett instrument som följer med CTD:n ner till botten och mäter strömmen i vattnet på vägen. Man får då strömprofiler i tillägg till profiler av salt och temperatur.

Uppgift 5

Om man summerar upp (integrerar) strömmen som vinden sätter upp i Ekman lagret så kan man räkna ut transporten, dvs hur mycket vatten som flyttas åt vilket håll på grund av vinden. Det kallar vi för Ekman transporten, \(\vec{Q_{Ekman}}=U\vec{i}+V\vec{j}\). Då får vi att

\(U=\frac{10^{-3}}{f}\tau_y\)

 

\(V=-\frac{10^{-3}}{f}\tau_x\)

 

Enheten på U och V är \(m^3/m/s\) (eller \(m^2/s\)) och de anger alltså hur mycket vatten som flyter förbi per meter per sekund. Uttrycken för \(\tau\) finner du i uppgift 2.

a) Om det blåser 15 m/s mot nordväst och det är isfritt, hur stor är då U och V? åt vilket håll flyttas vattnet?

b) Hur stor är vinkeln mellan vinden och transporten?

c) Om vi har två bojar (se Figur nedan) som ligger 10 km ifrån varandra och där en linje mellan bojarna är parallel med vinden, hur mycket vatten strömmar mellan bojarna under en timme? Vad tror du händer om linjen mellan A och B hade varit kustlinjen?

När vinden blåser parallelt med kusten, kommer vattnet antingen att samlas upp mot kusten eller att “försvinna” från kusten.

d) Åt vilket håll tror du det blåser när vi får översvämning på Bryggen i Bergen (tidvattnet har så klart också stor betydning!)

e) Vid kusten av den Antarktiska kontinenten blåser vinden vanligtvis mot väster – längre norrut (60S) blåser det starka vindar mot öster. Skissera hur vinden blåser och åt vilket håll Ekman transporten går. Vad tror du sker i mitten? Diskutera i grupp innan ni läser svaret längre ner på sidan.

 

 

 

Konvergens och divergens i havet

När vinden och därmed Ekmantransporten har olik riktning (det räcker egentligen att den ändrar storlek) från ett område till ett annat (som i uppgift 4) så får vi “konvergens” (om ytvattnet “samlas ihop”, i.e. om pilarna som visar Ekmantransport pekar mot varandra) eller “divergens” (om det försvinner eller tunnas ut, i.e. om pilarna går ifrån varandra). När vi har divergens och ytvattnet “försvinner” så måste det fyllas på med vatten underifrån. Vatten från djupet “sugs” upp till ytan av vinden. I områden där det här sker kontinuerligt (e.g. runt Antarktis) är det stor biologisk aktivitet eftersom vattnet nere i djupet är rikt på näringsämnen. Vindmönstret runt Antarktis lyfter upp relativt tungt vatten från djupet och bidrar till att vattnet i den övre delen av havet är tyngre än i andra områden. Vatten som sjunkit ner till botten i Nord Atlanten kommer här upp till ytan igen. Vill du läsa mer så googla t.ex “wind driven upwelling”.

 

 

Fryspunkten till havsvatten sjunker med ökande salthalt och med ökande tryck – ju saltare vattnet är, eller ju högre trycket är ju mer kan man kyla det ner innan det fryser. Kranvatten fryser vid 0\(^\circ\)C – havsvatten vid -1.9\(^\circ\)C. På 1000 m djup kan man kyla ner vattnet till -2.6\(^\circ\)C innan det fryser. Under de stora shelfiserna i Antarktis kommer havsvatten i kontakt med is på stort djup. När vatten är i kontakt med is, så kommer det smälta is och kylas ner till fryspunkten. Under Filchner-Ronne shelfisen når vattnet ner vid grundningslinjen (se figur) till 1800 m djup . Då kan vattnet bli väldigt kallt!

Uppgift 1

Fryspunkten är en funktion av salthalt och tryck, \(T_f=T_f(S,P)\). För ett konstant P (dvs. på ett visst djup) och för små ändringar i S ändrar sig fryspunkten linjärt med salthalten och vi kan skriva \(T_f=kS+m\).

a) Vi vet att \(T_f(S=34.4,P=0)=-1.8879^\circ C\) och \(T_f(S=34.7,P=0)=-1.9051^\circ C\). Bestäm konstanterna \(k\) och \(m\).

b) Vad är \(T_f(S=34.5,P=0)\)?

c) Vad är \(T_f(S=0,P=0)\)? Stämmer det? Varför/varför inte?

På samma sätt kan vi, för en given salthalt, skriva \(T_f=kP+m\).

d) Vi vet att \(T_f(S=34.5,P=0)=-1.8936^\circ C\) och \(T_f(S=34.5,P=1000dbar)=-2.6466^\circ C\). Trycket ökar med ungefär 1 dbar per meter, så trycket är ca 100dbar på 100 m djup, 200dbar på 200 m djup och så vidare. Bestäm konstanterna \(k\) och \(m\).

e) Vad är fryspunkten när P=2000dbar (ca 2000 m djup)?

f) Min kollega Svein Østerhus har varit med och borrat genom den tjocka isen på Filchner-Ronne shelfisen i Weddell havet och gjort mätningar i havsvattnet i håligheten under isen. Den lägsta temperatur de mätte var -2.53\(^\circ\)C, salthalten var 34.5. Hur djupt måste de (minst) ha varit?

g) Hur kallt kunde vattnet ha blivit om det nått ner till grundningslinjen (1800 m)  och smält is där?

Uppgift 2

När is smälter i saltvatten så sker två saker: temperaturen sjunker, eftersom värmen från vattnet används till att smälta isen, och salthalten sjunker, eftersom saltvattnet blandar sig med smältvattnet från isen. För att smälta en viss mängd is behöver vi en viss mängd värme – ska vi smälta dubbelt så mycket is så behöver vi dubbelt så mycket värme. Förändringen i temperatur är \textit{proportional} med förändringen i salthalt: \(k=\Delta T/\Delta S\)=2.4. En linje med lutningen 2.4 i ett TS-diagram (ett diagram med salt på x-axeln och temperatur på y-axeln)  visar hur salthalt och temperatur förändras när is smälter i havsvatten – den kallas för Gade-linje (se figur) efter Professor Herman Gade från UiB.

 

a) Finn ekvationen (\(T=kS+m\)) som beskriver hur temperaturen förändrar sig när is smälter i vatten som har T=2\(^\circ\)C och S=34.6? Plotta den i et TS-diagram (En graf med salthalt på \(x\)-axeln och temperatur på \(y\)-axeln).

b) Hur salt är vattnet när T=0\(^\circ\)C?

c) Hur salt är vattnet när vattnet är på fryspunkten? Här behöver du använda uttrycket for fryspunkten som du kom fram till i uppgift 1 (P=0).

d) Figuren nedan visar ett TS-diagram med data från en CTD station som togs vid vid fronten av Filchner shelfisen när jag var där för några år sen. Vad var den lägsta temperaturen som vi mätte då? hur salt var det vattnet? Hur kan det ha blivit så kallt?

e) Finn Gade linjen som går genom punkten med det kallaste vattnet vi observerade och plotta den tillsammans med datan och linjen som ger frysepunkten (från uppgift 1, P=0) .

f) Det mesta av vattnet som kommer in under Filchner-Ronne isen är på fryspunkten (P=0). Hur salt var det kallaste vattnet som vi observerade när det kom in under shelfisen, dvs innan det smälte is?

Med hjälp av Gade linjen kan vi bestämma hur salt vattnet som kommer ut från håligheten under Filchner-Ronne shelfisen var när det strömmade in. Eftersom vi vet hur salthalten ändrar sig längst fronten (det blir saltare ju längre väst man går) så kan vi också säga var det vattnet strömmade in!

Vi reser på tokt till Amundsenhavet vartannat år då gör vi en massa mätningar och får en bild av vad som händer just då, när vi är där. Men vi vill ju såklart också veta vad som händer när vi inte är där. Därför sätter vi ut “riggar”. Riggar är kort och gott ett ankare, en lina som vi sätter fast instrumenter på och så flytelementer som håller den uppe. Riggen får stå kvar på botten och mäta (vanligtvis ström, salt och temperatur men jag ska också ha instrumenter som mäter koncentrationen av syre i vattnet) tills vi kommer tillbaka ett år eller två senare för att hämta upp den. Hur riggen ser ut och vilka instrumenter man sätter på den beror så klart på vad man ska studera! I tabellen i uppgift 2 ser du några av instrumenten vi använder och her ser du hur en av mina riggar ska se ut:

Uppgift 1

Nu kan du få designa din! Hur skulle din rigg sett ut om du vill

1. studera hur vattnets salthalt och temperatur förändrar sig i de övre 200 m under ett år i ett område som är 500 m djupt?
2. studera en bottenström som når upp till 300 m över botten?
3. ta reda på hur mycket varmt vatten som strömmar in under in shelfis? Det är 800 m djupt. Tänk på att isbergen kan nå ner till 300 m djup!

 

Uppgift 2

Gör beräkningarna för din egen rigg eller för en rigg som har:

1 x Utlösare (25 möb); 3 x  SBE37 (25, 150 och 300 möb), 1 x RCM (50 möb), 1 x ADCP (300 möb) och  5 x SBE56 (50, 75, 100, 200, 250 möb). Möb=meter över botten.

Instrumenterna har följande dimensioner (alla har omtrent sylinderform):

a) Hur mycket väger instrumenterna på riggen i luft? i vatten?

Riggen måste också ha flytelementer (glaskulor) för att stå vertikalt!

b) Hur stor är uppdriften från en glaskula? Glaskulornas diameter är 43 cm och de väger 22 kg (i luft).

c) Hur många glaskulor behöver vi för att hålla riggen uppe?

Uppgift 3

När det är stark ström så dras riggen ner mot botten – det är inte bra. För det första får man inte mätningar från de djup man hade tänkt och för det andra så kan många instrument inte mäta när de lutar för mycket. En ADCP kan till exempel inte mäta strömmen om den lutar mer än 15\(^\circ\). Därför sätter vi på extra flytelementer för att hålla riggen upprätt också när det är stark ström. Kraften som det strömmande vattnet utövar på riggen är proportional mot arean som vattnet träffar.

a) Hur stor andel av riggens “area” utgör linan?

b) Hur mycket minskar motståndet om vi bytar till en lina som bara är 6 mm i diameter?

c) Ett instrument har dragits ned till 170 m över botten (möb) och dragits 218 meter nedströms, ett annat instrument har dragits ned till 65 mab och dragits 105 meter nedströms. Formen på linan kan beskrivas med en (halv) parabel. Finn uttrycket för parabeln!

d) Trycksensorn på en ADCP visar att den nu sitter 40 m över botten. Hur mycket lutar den då? Kan vi använda mätningarna?

e) Hur högt upp måste ADCP ha suttit för att vi skulle kunnat använda mätningarna?

f) Varför tror du vi hellre sätter en ADCP högt uppe så att den tittar ner, hellre än att den sitter närma botten och tittar upp?

 

Uppgift 4

När vi hämtar upp riggen igen och lastar ner datan från instrumenterna så får vi tidserier av ström, temperatur och salthalt. Nu ska vi titta på data från riggar som stod ute i Amundsenhavet 2012.

a) Läs in och plotta strömmätningarna från rigg S4 i 17-24 juni, 2012. (Riggdata_S4_1).  Strömmätningarna är i cm/s. Vad är det vi ser?

b) Hur stor är medelströmmen? i vilken riktning går den? (\(u\) ger strömstyrkan i \(x\)-riktning (mot öst) och \(v\) ger strömmen i \(y\)-riktning (mot norr))

c) Om du ska tillpassa eller beskriva observationerna med en funktion, vilken väljer du då?

d) Bestäm konstanterna med hjälp av regression.

e) Ett isberg flyter med strömmen i närheten av S4 – sätt upp ett uttryck (på vektorform) för hur isberget kommer att förflytta sig och plotta trajektorien i en ny figur. Beskriv rörelsen!

f) Plotta strömmen en vecka fram i tiden med hjälp av din funktion från (d).

g) Läs in datan från S4 24/6 – 1/7 och plotta den i samma figur – stämmer din model? Varför/varför inte? (Filen heter: Riggdata_S4_2)

Uppgift 5

Läs in och plotta tryckmätningarna från rigg C2. Här var strömmen mycket starkare än vad vi trodde, och vi hade inte satt på tillräckligt med flytelementer 🙁 (Filen heter: Riggdata_C2)

a) Vad är det vi ser? (hint: se uppgift 2)

b) Hur djupt sitter instrumentet när det är svag ström? (1 m \(\approx\) 1 dbar)

c) Hur djupt dras det ned maximalt?

d) Hur stor del av tiden har det dragits ner mer än 40 m? 80 m?

e) \(u\) ger strömstyrkan i \(x\)-riktning (mot öst) och \(v\) ger strömmen i \(y\)-riktning (mot norr). Använd Pythagoras sats och sätt upp ett uttryck för strömstyrkan. Räkna så ut den! Hur stark är den starkaste strömmen? medelströmmen? Hur många kilometer/timme är det?

f) Är det något samband mellan strömstyrka och tryck (dv neddragning)? Hur ser det ut? Beskriv sambandet matematiskt och förklara med ord!

 

Uppgift 6

Instrumenten går på batteri – och varje gång de gör en mätning går det åt lite (eller mycket om det är en ADCP) energi. Vi vill såklart att instrumenten ska göra mätningar helt tills vi kommer tillbaka och hämtar dem – så vi räknar i förväg ut hur ofta vi kan göra mätningarna utan att batteriet tar slut. Men vi måste också ta hänsyn till e.g. tidvatten när vi bestämmer hur ofta vi ska mäta.

a)Det dagliga tidvattnet (en av komponenterna) har en period på 25.8h. Tidvattnet kan beskrivas med en sinus kurva. Amplituden (och fasen) beror på var vi är – men anta att  amplituden är 10 cm/s och fasen 0. Sätt upp ett uttryck som beskriver tidvattnet och plotta det trettio dagar fram i tiden.

b) Om vi gjort mätningar bara en gång om dagen (i.e. var 24 h), hur hade vår tidserie sett ut då?

c) Vilken period har «svängningen» som vi då observerat?

d)Tidvattnet som vi observerar är en summa av många tidvattenskomponenter med olika perioder. En annan heldaglig tidvattenskomponent har en period på 23.93h.  Sätt upp uttrycket för den tidvattenskomponenten om amplituden är 9 cm/s (fasen kan du sätta till noll) och plotta summan av de två komponenterna. Vad är det du ser? Hur ändras amplituden? Hur långt är det mellan två «amplitudmaximum»? Kan du förklara vad som sker? (tips – plotta både de enskilda komponenterna och summan av dem). Jämför resultatet med dina resultat från uppgift 3g!

 

Vi oceanografer pratar ofta om “vattenmassor”, det är vatten med olikt ursprung och som därför har olik salthalt och temperatur. Vi pratar till exempel om Atlantiskt vatten som är varmt och salt, om Antarktiskt ytvatten som är kallt och färskt eller om Antarktiskt sockelvatten som är kallt och salt. Det är till stor del atmosfären som bestämmer vattenmassornas egenskaper. Där det är varmt värms vattnet upp, där det är kallt, kyls havet ned. Salthalten bestäms av avdunstning, färskvannstillförsel (från älvar och åar eller från regn eller snö) och utav isfrysning. När det bildas is om vintern, är det vattenmolekylerna som fryser. Det mesta av saltet blir skiljt ut, och salthalten i vattnet under ökar. I grunda områden där det bildas mycket is – till exempel inne på vissa av de Antarktiska kontinentalsocklarna – kan vattnet bli väldigt salt och därmed blir vattnet väldigt tungt. När isen sen smälter om våren, så bildas det ett färskt, lätt lag ovanpå det salta. I uppgiften härintill nämns “Circumpolar Deep Water”, CDW. CDW är egentligen en blanding av flera vattenmassor, däribland vatten som kommer helt från nordatlanten. CDW har en temperatur mellan 1 och 2 grader och en salthalt mellan 34.62 och 34.73. Salthalten har konsigt nog ingen enhet, men det motsvarar ungefär promille. Om salthalten är 1 så är det 1 gram salt per kilo vatten. Salthalten i havet är typiskt 35, eller ca 3.5 %.

I ett TS-diagram (en figur med salthalt på X-axeln och temperatur på Y-axeln, se figur nedan ) blir en vattenmassa till en punkt eller en liten box – blandar vi två vattenmassor kommer blandningen att ha en salthalt och temperatur som ligger på en rät linje mellan de två ursprungliga vattenmassorna.

 

Uppgift 1

Du har två flaskor A och B med havsvatten där \(S_A\)=33.2, \(T_A\)=4C och \(S_B\)=34.8, \(T_B\)=1C. Rita in dem i ett TS-diagram.

a) Vilken salthalt och temperatur har en blandning som betår av 50% A och 50% B ?

b) Vilken salthalt och temperatur har en blandning som betår av 10% A och 90% B ?

c) Vilken salthalt och temperatur har en blandning som betår av 73% A och 27% B ?

d) Rita in dina blandingar i TS-diagramet. Vad ser du?

e) Om du har en tredje vattenmassa där \(S_C\)=33.7, \(T_A\)=0C – vilka blandningar kan du få då?

 

Uppgift 2

Läs in och plotta temperatur och salthalt från Riggen S4, 320 m djup som en funktion av tid (Filen heter: Riggdata_S4_TS.txt).

a) Tiden är given i dagar sedan 1 Januari 2012. Vilken dag sattes riggen ut? När togs den in?

b) Vad är medel temperatur/salthalt och standard avvik?

c) Ser du någon sässongsvariation? Kan den beskrivas med en sinusfunktion? Varför / varför inte?

d) Plotta nu temperatur som en funktion av salthalt, vad ser du? Kan du beskriva förhållandet mellan salt och temperatur med hjälp av linjär regression?

e) Ett instrument i närheten mätte S=34.25 , S=34.6 och S= 33.9 – vad tror du temperaturen var?

f) Är dina svar på uppgiften ovan rimliga? Havsvatten fryser vid -1.9C. För vilka salthalter är din regression giltig?

g) Observationerna visar att vattnet vi observerar vid riggen är en blandning av CDW (Circumpolar Deep Water) och WW (Winter Water). Vilka egenskaper har vårt CDW? WW har vanligtvis en temperatur på -1.9C. Observerar vi rent WW på riggen? Använd regressionen till att bestamma vilken salthalt WW har.

h) Du har nu bestämt egenskaperna (S och T) på WW och CDW. Vilken temperatur och salthalt får en blandning utav 10% CDW och 90%WW? 50% av varje? 75% CDW och 25% WW?

i) Vilken temperatur har vatten som har en salthalt på 34.45? Hur stor del av vattnet är CDW och WW?

 

Uppgift 3

Vattnets densitet – dvs hur mycket 1 m\(^3\) vatten väger – beror på vilken temperatur och vilken salthalt det har. Kallt vatten är tyngre än varmt, färskt vatten är lättare än salt. Sambandet mellan S, T och densitet är komplicerat, men för små ändringar i salt och temperatur så är förhållandet tillnärmat linjärt:

\(   \rho = \rho_0 [1 + \beta (S – S_0) – \alpha (T – T_0) ] \)

 

I utrykket over er \(S\) saltholdighet, \(T\) er temperatur, \(\beta\) er den haline koeffisienten og \(\alpha\) er den termale koeffisienten. \(S_0\) och \(T_0\) är referensvärden som man själv kan välja och \(\rho_0=\rho(S_0,T_0)\). Värdena på \(\alpha\) och \(\beta\) beror på vilka värden du väljer för \(S_0\) och \(T_0\). Om vi väljer \(S_0\)=34.6 og \(T_0=\)=0.5C så är \(\rho_0=\rho(S_0,T_0)\)=1027,8 kg/m\(^3\), \(\alpha \approx \) 5.77*10\(^{-5}\) C\(^{-1}\) och \(\beta \approx 7.84*10^{-4}\). Med andra ord så utgår vi från ett referansvärde och så beräknar vi bidraget från ändringar i salt och temperatur.

Använd linjäriseringen till att beräkna densitetsprofilre från temperatur och salt profilerna i CTDdata_Amundsenhavet.txt. Hur ser de ut i jämförelse med profilerna för salt och temperatur?

a) Välj en av profilerna. Var är densiteten störst? minst? varför är det så?

b) Hur stor är densiteteskillnaden mellan ytan och botten? Hur mycket saltare måste vattnet i ytan bli för att det ska bli lika tungt som vattnet på bottnen?

Densiteten måste öka med ökande djup, annars är vattnet instabilt: tungt vatten ligger vanpå lätt vatten. Det tunga vattnet kommer då att sjunka ned till “`sin”‘ nivå (Det kallas konvektion) .

c) Om vi kyler ner vattnet i ytan till fryspunkten (\( T_f \)=-1.9C), hur tungt blir det då? Vad tror du händer?

När det blåser så blandas vattnet i ytan om och vi får ett homogen (konstant salthalt och temperatur) lag på toppen. Då blir den nya salthalten i ytan lik medelsalthalten av det vatten som blandats om.

d)Vad är medelsalthalten i den översta 100 m?

e)Hur tungt blir det homogena lagret i ytan om det kyls ner till fryspunkten? (\(T_f\)=-1.9C)

f) Hur mycket måste vi öka salthalten för att vattnet ska bli lika tungt som vattnet på botten? Hur kan salthalten öka i Antarktis? I Medelhavet?

 

Uppgift 4

När vattnet blir varmare sjunker densiteten – det betyder att varmt vatten tar mer plats. En stor del av höjningen i havsnivån som vi ser idag (och kommer att se mer av i framtiden) beror på att vattnet nere i djupet värms upp. Om 4000 m djupt vatten (med \( S_0 \) ,  \( T_0 \) ,  \( \rho_0 \) , \( \beta \) och \( \alpha \) som i uppgift 3) värms upp en grad, hur mycket stiger havsnivån då?

Uppgift 5

När det fryser is, så är det vattenmolekylerna som bildar kristaller och blir till is. Största delen av saltet skiljs ut och blandas in i vattnet under. Salthalten* på ganska ny is är typiskt 7-10**. Eftersom salthalten har så stor betydelse för vattnets densitet, vill vi gärna veta hur mycket salthalten ökar i vattnet ( \( \Delta S \)) om det fryser is med en viss tjockelse (\(h_{is}\)) och salthalt (\(S_{is}\)). Det kan vi räkna ut med formeln

\(\Delta S= \frac{h_{is}(S-S_{is})}{H_{vatten}}\)
där \(H_{vatten}\) är tjockleken på lagret med vatten som saltet blandar sig i.

a) Hur mycket ökar salthalten om vi fryser (i) 10 cm (ii) en meter med is över ett 100 m tjock lager där S=34.5 och \(S_{is}\)=7.

b)Hur mycket ökar salthalten om vi fryser (i) 10 cm (ii) en meter med is över ett 1000 m tjock lager där S=34.5 och \(S_{is}\)=7.

c) Hur mycket ökar densiteten i a-b? Låt T=T\(_f\) (Se uppgift 3).

d) Hur mycket is måste vi frysa för att vattnet i uppgift 3h ska bli lika tungt som vattnet på bottnen? (Låt H=100 m, tjockleken på lagret som stormen rörde om). Är det realistiskt?

*Man bestämmer salthalten på is genom att smälta ner den och mäta salthalten på smältvattnet

** På gammal is i Arktis kan den vara nästan 0!

Shelfiserna i Amundsen havet smälter relativt fort därför att det strömmar in relatvit varmt vatten i håligheten under isen. Vi vill därför veta hur mycket värme som vattnet på kontinentalsockeln innehåller – och hur mycket värme som strömmar in under isen. Man anger värmeinnehållet relativt till en bestämd referens temperatur, \(T_{ref}\). Det man alltså räknar ut är hur mycket värme måste “ta ut” för att kyla vattnet ner till \(T_{ref}\). Om man behöver tillsätta värme för att vattnet ska nå \(T_{ref}\), så är värmeinnehållet negativt.

Vi kan räkna ut värmeinnehållet, \(H\), i vattnet från en CTD-profil (observationer av temperatur och salt från ytan ner till botten) :

\(H\approx\sum_{z=1}^{depth}\rho c_p \left(T(z)-T_{ref}\right)\Delta z\)

\(\rho\) är vattnets densitet (ca 1027 kg/m\(^3\)) och \(c_p=4\times10^3\)J/kg/C är värmekapaciteten.

Man kan välja vilken referenstemperatur man vill, men då havsvatten fryser vid -1.9C så ger det fysisk mening att välja \(T_{ref}\)=-1.9C. Då är värmeinnehållet den energi man kan ta ut från vattnet innan det fryser.\(H\) är värmeinnehåll per kvadratmeter.

När det varma vattnet kommer i kontakt med is kommer det kylas ner (till frysepunkten) och värmen kommer att användas till att smälta is. För att smälta ett kilo is behövs det ca 330 kJ (lite mer om isen är kall).

Uppgift 1

a) Lasta in CTD profilerna ifrån Amundsenhavet (de ligger efter varandra i CTDdata_Amundsenhavet.txt) i Geogebra och plotta ett par profiler och beräkna värmeinnehållet.

b) Hur mycket av värme finns i de översta 200 metrarna? under 200 m djup?

c) Vi är mest intresserade av den värme som finns i djupet. Varför, tror du?

d) Gör en tabell där du noterar värmeinnehåll (i det övre och undre laget) och bottentemperatur. Samarbeta gärna i grupp!

e) Mina kollegor menar att det är ett direkt samband mellan bottentemperatur och värmeinnehåll, så att det egentligen skulle räcka att mäta temperaturen på botten. Hur ser det ut i er data? Kan ni dra någon slutsats baserat på de profiler ni har? Diskutera!

Vill ni har mer punkter i ert diagram så går det att lasta ner data från en tokt till Amundsenhavet i 2010 ifrån NODC, en stor databank dit vi forskare skickar datan så att andra forskare (och du!) ska kunna använda den.

Uppgift 2

1. Hur mycket is (per kvadratmeter) kan vi smälta med värmen från profilerna ovan?
2. Man uppskattar det varje år smälter ca 400 Gton is under shelfiserna i Amundsenhavet. Hur mycket värme motsvarar det?

Uppgift 3

a) Forskarna menar att om den väst-Antarktiska iskappan kollapsar så kommer havsytan stiga med tre meter – hur många kubikmeter is motsvarar det?

b) Hur mycket värme behövs för att smälta isen? (Behöver isen smälta för att havsnivån ska stiga?)

c) Ett typiskt vindkraftverk producerar 2MW när de går för fullt – hur lång tid skulle det ta för vindkraftverket producera den energi som behövs för att smälta isen?

d) Man uppskattar att jorden mottar 0.5 W/m\(^2\) mer strålningsenergi från solen än vad den ger ifrån sig – hur lång tid skulle det ta att smälta isen om all den energien gick till att smälta is?

e) Energiförbruket i Norge är ca 30 000 kWh per person – hur många kubikmeter smält is per år motsvara det?

[slr-infobox]
Jordens radius: 6371 km

Densitet, is: 900 kg/m\(^3\)

Densitet, snö: 300 kg/m\(^3\)

Densitet, havsvatten: 1027 kg/m\(^3\)

Andel av jordytan som är täckt med hav: 70%

[/slr-infobox]

Is, is, is! Det är is överallt! Stora isflak, små isflak och så ett och annat isberg. Det är vitt och vackert… men framförallt så är det slut på vågor och sjösjuka! Isen tar effektivt död på vågorna.

När vi tar värme från havet, så kyls det ner helt tills det når fryspunkten. Då kan det inte kylas ner mer… fortsätter vi att ta bort värme, så fryser det is. Den värme vi tar bort är då den latenta värmen som frigörs när vattnet blir till is. Nu är det ju inte “vi” som tar bort värme utan atmosfären. När luften är kallare än vattnet, så försvinner värme från vattnet upp i luften: ju kallare det är, ju fortare försvinner värmen. Ju kallare det är ju fortare växer isen. Men isen är en god isolator, den isolerar havet från den kalla atmosfären ovanpå. Precis som jackan isolerar dig när det är kallt ute och gör att du behåller din värme så gör isen att havet förlorar mindre värme, eftersom all värme som avges till atmosfären måste ledas upp genom isen. Ju tjockare isen är, ju långsammare leds värmen upp genom isen, eftersom värmefluxen (\(F_{is}\), som anger mycket värme som leds upp genom isen per tidsenhet) är proportional med temperaturgradienten i isen.

\(F_{is}=-k_{is}\frac{dT}{dz}=-k_{is}\frac{T_{atm}-T_{f}}{H}\)

 

\(k_{is}=2\,W\,m^{-1}\,^{\circ}C^{-1}\) är isens värmeledningsförmåga och \(H\) är tjockleken på isen. \(T_{atm}\) är temperaturen på ovansidan av isen (som vi antar är den samma som lufttemperaturen) och \(T_f=-1.9^\circ C\) är temperaturen på undersidan av isen, dvs. vattnets fryspunkt.

Den latenta värmen som frigörs (per kvadratmeter) när isen växer en pytteliten bit \(dH\) är \(\rho_{is}LdH\). Om det sker under en kort tid \(dt\) så är den latenta värmefluxen:

\(F_{latent}=\rho_{is}L\frac{dH}{dt}\)

 

\(\rho_{is}=900\,kg\,m^{-3}\) är isens densitet och \(L=3.3*10^5J\,kg^{-1}\) är den latenta värmen.

Isen kommer växa precis så fort all all den latenta värmen kan ledas upp genom isen, dvs så att

\(F_{latent}=F_{is}\)

 

När vi kombinerar de två ekvationerna så får vi en differentialekvation, som vi kan lösa för att få ett uttryck för hur istjockleken växer med tiden, \(H(t)\).

Uppgift 1

a) Sätt upp differential ekvationen og vis at uttryket för \(H(t)\) er

\(H=\sqrt{ H_0^2+\frac{2k_{is}(T_{f}-T_{atm})}{\rho_{is}L}t}\).

när \(H(t=0)=H_0\)

Tips: Bruk kjärnregelen \(\frac{dH^2}{dt}=2H\frac{dH}{dt}\).

b) Plotta funktionen för olika \(T_{atm}\)! När växer isen snabbast? Varför det?   (Sätt \(H_0=0\))

c) Bruk resultatet fra (a) till att beräkna tjockleken på isen efter tio timmar efter det börjar frysa om temperaturen ute är (i) -20\(^\circ\)C (ii) -2\(^\circ\)C.

d) När isen i (c) är 1 m tjock, hur lång tid tar det då innan den har växt tio cm till?

e)  Vad tror du sker när det faller snö på isen? \(\kappa_{\textit{snö}}\) är typiskt mellan 0.15 och 0.4\(W\,m^{-1}\,^{\circ}C^{-1}\). Vilket är den bästa isolatorn? Snö eller is?

f) All värme som leds upp genom isen måste också ledas upp genom snön: Var är temperaturgradienten störst? I snön eller i isen? Skissera temperaturprofilen!

 

Uppgift 2

Temperaturen varierar från dag till dag och från år till år. Filen Temperatur.txt innehåller temperaturdata för Amundsenhavet från mars 2014 till mars 2015.

a) Räkna ut medeltemperatur varje månad och plotta den. Räkna också ut standardavvik och rita in den i din graf. Vilken månad är kallast? varmast? när är temperaturen mest/minst variabel?

b) När slutar isen att växa?

c) Räkna ut hur mycket isen växer varje månad? Vilket värde ska du använda för \(H_0\)?

d) Plotta i) istjokleken och ii) isväxten som en funktion av tiden. När växer isen fortast? är det kallast då? varför/varför inte?

Uppgift 3

a) Om ett isflak är 30 cm tjock, 2 m brett och fem meter långt – hur stor del av isflaket sticker upp ovanför vattenytan? \(\rho_{is}=900kg m^{-3}\)

b) Hur många forskare kan stå på isflaket (i mitten) utan att bli blöta om fötterna?

c) Hur mycket snö kan falla på isen utan att isen sjunker under ytan? \(\rho_{snö}\approx 300kg m^{-3}\)

Uppgift 4

I Antarktis är isen relativt tunn och det snöar ofta så mycket att isen trycks ner under ytan av snön. Då får vi ett lager med slush (snö + havsvatten) ovanpå isen. När vattnet i blandningen fryser får vi så kallad snöis. Man uppskattar att upp mot 40% av isen i Amundsenhavet är snöis!

a) Det går fortare att frysa snöis än “vanlig” is under isflaket – kan du förklara varför? Hur långt behöver värmen ledas när vi fryser snöis? Behöver snön frysas?