Is, is, is! Det er is over alt! Store isflak, små isflak, og et og annet isfjell. Det er hvitt og vakkert, men framfor alt så betyr det slutten på bølger og sjøsyke! Isen demper effektivt bølgene.
Når vi tar varme fra vann, så kjøles det ned, helt til det når frysepunktet. Da kan vannet ikke kjøles ned mer. Fortsetter vi å ta bort varme – fryser det til is. Varmen vi tar bort er den latente varmen som frigjøres når vannet blir til is. Nå er det jo ikke «vi» som tar bort varmen, men atmosfæren. Når luften er kaldere enn vannet, forsvinner varme fra vannet og opp i luften: jo kaldere det er, jo raskere forsvinner varmen. Jo kaldere det er, jo raskere vokser isen. Men isen er en god isolator; den isolerer havet fra den kalde atmosfæren. Akkurat som jakken isolerer deg når det er kaldt ute og gjør at du holder varmen, så gjør isen at havet mister mindre varme siden all varmen som skal avgis til atmosfæren først må ledes gjennom isen. Jo tykkere is, jo senere langsommere ledes varmen opp gjennom isen, ettersom varmefluksen \((F_{is})\), angir hvor mye varme som ledes opp gjennom isen per tidsenhet) er proporsjonal med temperaturgradienten i isen.
\(
F_{is}=-k_{is}\frac{dT}{dz}=-k_{is}\frac{T_{atm}-T_{f}}{H}
\)
\(k_{is}=2\,W\,m^{-1}\,^{\circ}C^{-1}\) er isens varmeledningsevne og \(H\) er istykkelsen. \(T_{atm}\) er temperaturen på overflaten av isen (som vi antar er den samme som lufttemperaturen) og \(T_f=-1.9^\circ C\) er temperaturen på undersiden av isen, dvs. vannets frysepunkt.
Den latente varmen som frigjøres (per kvadratmeter) når isen vokser en bitteliten bit \(dH\) er \(\rho_{is}LdH\). Hvis det skjer på tiden \(dt\) så er den latente varmefluksen:
\(F_{latent}=\rho_{is}L\frac{dH}{dt}\)
\(\rho_{is}=900\,kg\,m^{-3}\) er isens tetthet og \(L=3.3*10^5J\,kg^{-1}\) er den latente varmen.
Isen vokser akkurat så fort at all den latente varmen kan ledes opp gjennom isen, dvs. slik at:
\(F_{latent}=F_{is}\)
Når vi kombinerer de to ligningene så får vi en differensialligning, som vi kan løse for å få ett uttrykk for hvordan istykkelsen vokser med tiden, \(H(t)\).
Oppgave 1
a) Sett opp differensialligningen
b) Vis at uttrykket for \(H(t)\) er
\(H=\sqrt{ H_0^2+\frac{2k_{is}(T_{f}-T_{atm})}{\rho_{is}L}t}\).
når \(H(t=0)=H_0\)
Tips: Bruk kjerneregelen \(\frac{dH^2}{dt}=2H\frac{dH}{dt}\).
c) Plott funksjonen for ulike \(T_{atm}\)! Når vokser isen raskest? Hvorfor? (Sett \(H_0=0\))
d) Bruk resultatet fra (a) til å beregne tykkelsen på isen ti timer etter det begynner å fryse hvis temperaturen ute er (i) -20\(^\circ\)C (ii) -2\(^\circ\)C.
e) Når isen i (c) er 1 m tykk, hvor lang tid tar det da innen den har vokst ti cm til?
f) Hva tror du skjer når det faller snø på isen? \(\kappa_{\textit{snö}}\) er typisk mellom 0,15 og 0,4\(W\,m^{-1}\,^{\circ}C^{-1}\). Hva er den beste isolatoren? Snø eller is?
g) All varme som ledes opp gjennom isen må også ledes opp gjennom snøen: Hvor er temperaturgradienten størst? I snøen eller i isen? Skisser temperaturprofilen!
Oppgave 2
Temperaturen varierer fra dag til dag og fra år til år. Filen Temperatur.txt inneholder temperaturdata fra Amundsenhavet fra mars 2014 til mars 2015.
a) Regn ut og plott middeltemperatur hver måned. Regn også ut standardavvik og legg det til i grafen din. Hvilken måned er kaldest? Varmest? Når er temperaturen mest/minst variabel?
b) Når slutter isen å vokse?
c) Regn ut hvor mye isen vokser hver måned? Hvilken verdi skal du bruke for \(H_0\)?
d) Plott i) istykkelsen og ii) isveksten som en funksjon av tid. Når vokser isen raskest? Er det kaldest da? Hvorfor/Hvorfor ikke?
Oppgave 3
a) Hvis isen er 30 cm tykk, 2 m bred og fem meter lang – hvor stor del av isflaket stikker opp av vannet? \(\rho_{is}=900kg m^{-3}\)
b) Hvor mange forskere kan stå på isflaket (i midten) uten å bli våte på beina?
c) Hvor mye snø kan falle på isen uten at isen synker under overflaten? \(\rho_{snø}\approx 300kg m^{-3}\)
Oppave 4
I Antarktis er isen relativt tynn og det snør ofte så mye at isen trykkes ned under vannoverflaten av snøen. Da får vi et lag med slush (snø + saltvann) på toppen av isen. Når vannet i blandingen fryser får vi såkalt snøis. Man regner med at opp mot 40% av isen i Amundsenhavet er snøis!
a) Det går fortere å fryse snøis enn “vanlig” is under isflaket – kan du forklare hvorfor? Hvor langt trenger varmen ledes når vi fryser snøis? Trenger snøen å fryse?